Операции над событиями

Определение. Объединение событий

Объединением событий $A$ и $B$ (обозначается $A \cup B$) называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда произошло хотя бы одно из событий $A$ или $B$.

$A \cup B = \{\text{исходы, принадлежащие } A \text{ или } B \text{ (или обоим)}\}$

На диаграмме Венна объединение — это вся заштрихованная область, покрывающая оба круга.

Определение. Пересечение событий

Пересечением событий $A$ и $B$ (обозначается $A \cap B$) называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда произошли оба события $A$ и $B$ одновременно.

$A \cap B = \{\text{исходы, принадлежащие и } A \text{, и } B\}$

На диаграмме Венна пересечение — это область, где круги $A$ и $B$ накладываются друг на друга.

Определение. Дополнение события

Дополнением события $A$ (обозначается $\bar A$) называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда событие $A$ не происходит.

$\bar A = \{\text{исходы, не принадлежащие } A\}$

Свойство дополнения: $P(\bar A) = 1 - P(A)$.

Определение. Несовместные события

События $A$ и $B$ называются несовместными (или несовместимыми), если они не могут произойти одновременно в одном испытании. Для несовместных событий $A \cap B = \varnothing$.

Пример: при одном броске кубика события $A$ = «выпало 2» и $B$ = «выпало 5» несовместны — одновременно выпасть не могут.

Определение. Независимые события

События $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Для независимых событий выполняется равенство:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Пример: два последовательных броска монеты — результат первого броска не влияет на результат второго.

Формула вероятности объединения

Для любых событий $A$ и $B$:

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

Если $A$ и $B$ несовместны ($A \cap B = \varnothing$), то $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$A \cup B$	Объединение $A$ и $B$	Хотя бы одно из событий
$A \cap B$	Пересечение $A$ и $B$	Оба события одновременно
$\bar A$	Дополнение $A$	Событие, противоположное $A$
$\varnothing$	Пустое множество	Невозможное событие

Пример 1. Объединение и пересечение

Бросаем игральный кубик. Событие $A$ = «выпало чётное число», событие $B$ = «выпало число больше 3».

Дано: $A = \{2, 4, 6\}$, $B = \{4, 5, 6\}$.

Формула: $A \cup B$ — все исходы из $A$ или $B$; $A \cap B$ — общие исходы.

Подстановка: $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$, $A \cap B = \{4, 6\}$.

Ответ: $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$, $A \cap B = \{4, 6\}$.

Пример 2. Вероятность дополнения

Какова вероятность, что при броске кубика не выпадет шестёрка?

Дано: $A$ = «выпала 6», $P(A) = \dfrac{1}{6}$.

Формула: $P(\bar A) = 1 - P(A)$

Подстановка: $P(\bar A) = 1 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}$

Ответ: $P(\bar A) = \dfrac{5}{6}$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — путать несовместные и независимые события. Несовместные события не могут произойти вместе (пересечение пусто). Независимые события могут произойти вместе, но их вероятности не влияют друг на друга. Это разные понятия!