Геометрическая вероятность

Определение. Геометрическая вероятность

Геометрическая вероятность — способ вычисления вероятности события, когда пространство элементарных исходов содержит бесконечное (несчётное) число равновозможных исходов, и каждый исход можно представить как точку в некоторой области (отрезке, фигуре, теле).

Вероятность события $A$ в такой модели равна отношению меры области, благоприятной для $A$, к мере всей области:

$P(A) = \dfrac{\text{мера благоприятной области}}{\text{мера всей области}}$

В качестве меры может выступать длина (для одномерных задач), площадь (для двумерных) или объём (для трёхмерных).

Формула

Для отрезка на прямой:

$P(A) = \frac{\text{длина благоприятного отрезка}}{\text{длина всего отрезка}}$

Для фигуры на плоскости:

$P(A) = \frac{\text{площадь благоприятной фигуры}}{\text{площадь всей фигуры}}$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$P(A)$	Вероятность события $A$	Отношение мер областей
$m(A)$	Мера благоприятной области	Длина, площадь или объём
$m(\Omega)$	Мера всей области	Длина, площадь или объём всего пространства исходов

Пример 1. Случайная точка на отрезке

На отрезок $[0, 12]$ случайным образом падает точка. Какова вероятность, что она попадёт в отрезок $[2, 5]$?

Дано: весь отрезок $[0, 12]$, благоприятный отрезок $[2, 5]$.

Формула: $P = \dfrac{\text{длина } [2,5]}{\text{длина } [0,12]}$

Подстановка: длина $[2,5] = 5 - 2 = 3$, длина $[0,12] = 12 - 0 = 12$. $P = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$

Ответ: $P = 0{,}25$.

Пример 2. Дартс (мишень)

Круглая мишень радиуса 20 см разделена на 4 равных кольцевых сектора. Какова вероятность, что случайное попадание в мишень окажется в центральном круге радиуса 5 см?

Дано: $R_{\text{мишени}} = 20$ см, $R_{\text{центра}} = 5$ см.

Формула: $P = \dfrac{S_{\text{центра}}}{S_{\text{мишени}}} = \dfrac{\pi R_{\text{ц}}^2}{\pi R_{\text{м}}^2} = \dfrac{R_{\text{ц}}^2}{R_{\text{м}}^2}$

Подстановка: $P = \dfrac{5^2}{20^2} = \dfrac{25}{400} = \dfrac{1}{16}$

Ответ: $P = 0{,}0625$.

Пример 3. Формат ОГЭ: Встреча на остановке

Автобус приходит на остановку каждые 15 минут. Пассажир подходит к остановке в случайный момент времени. Какова вероятность, что ему придётся ждать не более 3 минут?

Дано: интервал движения 15 мин, благоприятный интервал 3 мин.

Формула: $P = \dfrac{\text{длина благоприятного интервала}}{\text{длина всего интервала}}$

Подстановка: $P = \dfrac{3}{15} = \dfrac{1}{5}$

Ответ: $P = 0{,}2$.

Определение. Случайный выбор точки из дуги окружности

Особый случай геометрической вероятности — выбор случайной точки на окружности. Точка может попасть в любую точку окружности равновозможно. Тогда «мерой» области служит длина дуги, а вероятность попасть в дугу равна отношению длины этой дуги к длине всей окружности.

Дуга окружности — часть окружности между двумя её точками. Длина дуги, опирающейся на центральный угол $\theta$ (в радианах), равна:

$s = r \cdot \theta$

где $r$ — радиус окружности. Длина всей окружности (полный угол $2\pi$) равна $2\pi r$.

Формула. Вероятность попадания в дугу

Если на окружности случайно выбирается точка, вероятность попасть в дугу с центральным углом $\theta$ равна отношению длины дуги к длине окружности:

$P = \frac{s}{2\pi r} = \frac{r \cdot \theta}{2\pi r} = \frac{\theta}{2\pi}$

То есть вероятность равна отношению центрального угла дуги к полному углу $2\pi$ (или, в градусах, к $360^\circ$):

$P = \frac{\theta}{2\pi} = \frac{\theta^\circ}{360^\circ}$

Пример 4. Случайная точка на окружности

На окружности случайным образом выбирается точка. Какова вероятность, что она попадёт в дугу с центральным углом $60^\circ$?

Дано: центральный угол дуги $\theta^\circ = 60^\circ$, полный угол $360^\circ$.

Формула: $P = \dfrac{\theta^\circ}{360^\circ}$

Подстановка: $P = \dfrac{60}{360} = \dfrac{1}{6}$

Ответ: $P = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$.

Пример 5. Дуга через длину

Окружность имеет радиус 6 см. На ней случайно выбирается точка. Какова вероятность, что она попадёт в дугу длиной $2\pi$ см?

Дано: $r = 6$ см, длина дуги $s = 2\pi$ см, длина окружности $2\pi r = 12\pi$ см.

Формула: $P = \dfrac{s}{2\pi r}$

Подстановка: $P = \dfrac{2\pi}{12\pi} = \dfrac{1}{6}$

Ответ: $P = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}1667$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — применять классическую формулу $P = m/n$, когда число исходов бесконечно. Например, «выбрать случайную точку на отрезке» — исходов бесконечно много, классическая формула неприменима. Нужно геометрическое определение.

⚠️ Вторая частая ошибка — путать меры: если задача про отрезок, используем длины; если про фигуру на плоскости — площади. Нельзя делить длину на площадь.