Закон больших чисел

Определение. Закон больших чисел

Закон больших чисел (теорема Бернулли) — фундаментальное утверждение теории вероятностей: при неограниченном увеличении числа $n$ независимых испытаний относительная частота $W(A)$ случайного события $A$ сходится по вероятности к его вероятности $P(A)$.

Иными словами: чем больше испытаний мы проводим, тем ближе наблюдаемая частота события к его теоретической вероятности.

Формула

Формальная запись закона больших чисел:

$\lim_{n \to \infty} P\left(\left|W(A) - P(A)\right| < \varepsilon\right) = 1$

для любого сколь угодно малого $\varepsilon > 0$, где $W(A) = \dfrac{m}{n}$ — относительная частота события $A$ в $n$ испытаниях.

Это означает: с вероятностью, сколь угодно близкой к 1, отклонение частоты от вероятности становится меньше любого наперёд заданного $\varepsilon$ при достаточно большом $n$.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$n$	Число испытаний	Количество повторений опыта
$m$	Число появлений события	Сколько раз произошло событие $A$
$W(A)$	Относительная частота	$W(A) = m/n$
$P(A)$	Вероятность события	Теоретическая вероятность
$\varepsilon$	Допустимое отклонение	Сколь угодно малая положительная величина

Пример 1. Монета

Монету подбрасывают 10, 100 и 1000 раз. Сравним относительную частоту выпадения орла с теоретической вероятностью $P = 0{,}5$.

Дано: $P = 0{,}5$. Серии по 10, 100 и 1000 бросков.

Формула: $W(A) = m/n$

Подстановка: при 10 бросках: $W = 7/10 = 0{,}7$ (отклонение 0,2). При 100 бросках: $W = 53/100 = 0{,}53$ (отклонение 0,03). При 1000 бросках: $W = 502/1000 = 0{,}502$ (отклонение 0,002).

Ответ: с ростом $n$ относительная частота приближается к $0{,}5$.

Пример 2. Статистика урожая

Фермер знает, что вероятность всхожести семян пшеницы равна $0{,}95$. Он посадил 100 семян — взошло 92 ($W = 0{,}92$). На следующий год — 1000 семян, взошло 943 ($W = 0{,}943$). На третий год — 10000 семян, взошло 9498 ($W = 0{,}9498$).

Дано: $P = 0{,}95$. $n_1 = 100$, $n_2 = 1000$, $n_3 = 10000$.

Формула: $W(A) = m/n$

Подстановка: $W_1 = 92/100 = 0{,}92$. $W_2 = 943/1000 = 0{,}943$. $W_3 = 9498/10000 = 0{,}9498$.

Ответ: с ростом $n$ частота всё ближе к $0{,}95$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — думать, что закон больших чисел «компенсирует» отклонения. Если после 10 орлов подряд монета «должна» выдать решку — это ошибка игрока. Закон больших чисел работает на больших числах, а не корректирует прошлые результаты.

⚠️ Вторая частая ошибка — путать закон больших чисел с «законом средних». Закон больших чисел — строгая математическая теорема, а не житейское наблюдение, что «всё возвращается к норме».