Среднее, медиана, мода

Определение. Меры центральной тенденции

Меры центральной тенденции — числа, которые описывают «центр» набора данных, то есть типичное, наиболее representative значение. Три основные меры: среднее арифметическое, медиана и мода.

Среднее арифметическое

Среднее арифметическое $\bar x$ — сумма всех значений, делённая на их количество:

$\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{x_1 + x_2 + \dots + x_n}{n}$

Свойства:

• Чувствительно к выбросам (одно аномально большое или малое значение сильно меняет среднее).
• Удобно для дальнейших статистических расчётов (дисперсия, стандартное отклонение).

Медиана

Медиана $Me$ — значение, которое делит упорядоченный ряд пополам. Алгоритм:

1. Упорядочить все значения по возрастанию.
2. Если $n$ нечётно: $Me = x_{(n+1)/2}$ (центральный элемент).
3. Если $n$ чётно: $Me = \frac{x_{n/2} + x_{n/2 + 1}}{2}$ (среднее двух центральных).

Свойства:

• Устойчива к выбросам (экстремальные значения не влияют на медиану).
• Лучше среднего характеризует «типичное» значение, если в данных есть резкие выбросы.

Мода

Мода $Mo$ — значение, которое встречается в выборке чаще всего. Если несколько значений имеют одинаковую максимальную частоту — выборка мультимодальная. Если все значения встречаются по одному разу — моды нет.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$\bar x$	Среднее арифметическое	Сумма значений / количество
$Me$	Медиана	Центральный элемент упорядоченного ряда
$Mo$	Мода	Наиболее частое значение
$n$	Объём выборки	Количество элементов

Пример 1. Вычисление всех трёх мер

Даны результаты теста по физике (баллы): 12, 15, 15, 18, 20, 22, 22, 22, 25, 30.

Дано: $x_i$: 12, 15, 15, 18, 20, 22, 22, 22, 25, 30. $n = 10$.

Формула: $\bar x = \frac{\sum x_i}{n}$; медиана при чётном $n$: $Me = \frac{x_5 + x_6}{2}$; мода — значение с наибольшей частотой.

Подстановка: $\bar x = \frac{12+15+15+18+20+22+22+22+25+30}{10} = \frac{201}{10} = 20{,}1$. Ряд уже упорядочен, $n=10$ (чётно): $x_5 = 20$, $x_6 = 22$, $Me = \frac{20+22}{2} = 21$. Частоты: 12→1, 15→2, 18→1, 20→1, 22→3, 25→1, 30→1. Наибольшая частота (3) у значения 22 → $Mo = 22$.

Ответ: $\bar x = 20{,}1$; $Me = 21$; $Mo = 22$.

Пример 2. Влияние выброса на среднее и медиану

В ту же выборку добавили результат одного ученика, который набрал 100 баллов (аномалия).

Дано: новый ряд: 12, 15, 15, 18, 20, 22, 22, 22, 25, 30, 100. $n = 11$.

Подстановка: $\bar x = \frac{201 + 100}{11} = \frac{301}{11} \approx 27{,}4$. Медиана (n=11, нечётно): 6-й элемент = 22. Мода: 22 (частота 3).

Ответ: среднее выросло с 20,1 до 27,4 (на 36%). Медиана не изменилась (22). Мода не изменилась (22). Вывод: медиана устойчива к выбросам, среднее — нет.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — не упорядочивать ряд перед поиском медианы. Если найти «центральный» элемент в неотсортированном списке, результат будет случайным. Всегда сначала сортируй!