Правило умножения вероятностей. Независимые события

Определение. Независимые события

События $A$ и $B$ называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого. Формально: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$.

Если это равенство не выполняется — события зависимы.

Формула умножения вероятностей

Для независимых событий $A$ и $B$:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Для $k$ независимых событий:

$P(A_1 \cap A_2 \cap \dots \cap A_k) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot \dots \cdot P(A_k)$

Обозначения

Символ	Название	Описание
$P(A \cap B)$	Вероятность пересечения	Вероятность, что произойдут оба события
$P(A)$	Вероятность события $A$	Численная мера возможности $A$
$P(B)$	Вероятность события $B$	Численная мера возможности $B$

Пример 1. Два независимых испытания

Монету подбрасывают два раза. Какова вероятность, что оба раза выпадет орёл?

Дано: $P(орёл) = \dfrac{1}{2}$ при каждом броске. Броски независимы.

Формула: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Подстановка: $P(орёл \cap орёл) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}$

Ответ: $P = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$.

Пример 2. Три независимых испытания

Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}7$. Какова вероятность, что он попадёт в трёх выстрелах подряд?

Дано: $P(попадание) = 0{,}7$. Выстрелы независимы.

Формула: $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$

Подстановка: $P = 0{,}7 \cdot 0{,}7 \cdot 0{,}7 = 0{,}343$

Ответ: $P = 0{,}343$.

Пример 3. Независимость и дополнение

Стрелок попадает в мишень с вероятностью $0{,}7$. Какова вероятность, что он попадёт хотя бы один раз из двух выстрелов?

Дано: $P(попал) = 0{,}7$, $P(промах) = 1 - 0{,}7 = 0{,}3$. Выстрелы независимы.

Формула: Удобнее найти вероятность противоположного события — «промахнулся оба раза» — и вычесть из 1: $P(хотя\ бы\ раз) = 1 - P(промах \cap промах)$.

Подстановка: $P(промах \cap промах) = 0{,}3 \cdot 0{,}3 = 0{,}09$. $P(хотя\ бы\ раз) = 1 - 0{,}09 = 0{,}91$.

Ответ: $P = 0{,}91$.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — применять правило умножения к зависимым событиям. Например, вероятность вытянуть два туза подряд из колоды без возвращения — это зависимые события, и просто перемножить $4/36 \cdot 4/36$ нельзя (после первого туза в колоде остаётся 35 карт и 3 туза).

⚠️ Вторая частая ошибка — путать «независимые» и «несовместные». Независимые события могут произойти вместе (и их вероятности перемножаются). Несовместные — не могут произойти вместе (их вероятности складываются, пересечение пусто).