Случайные события и их частота

Определение. Случайное событие

Случайное событие — событие, которое при проведении некоторого опыта (испытания) может произойти, а может и не произойти. Обозначается заглавными латинскими буквами: $A$, $B$, $C$ и т.д.

Достоверное событие — событие, которое обязательно произойдёт в данном опыте (обозначается $\Omega$).

Невозможное событие — событие, которое не может произойти в данном опыте (обозначается $\varnothing$).

Примеры:

• Подбрасывание монеты: $A$ = «выпал орёл» — случайное; $\Omega$ = «выпал орёл или решка» — достоверное; $\varnothing$ = «монета встала на ребро» — невозможное.
• Бросание кубика: $B$ = «выпало 6» — случайное; $\Omega$ = «выпало число от 1 до 6» — достоверное; $\varnothing$ = «выпало 7» — невозможное.

Определение. Относительная частота

Относительная частота $W(A)$ случайного события $A$ — отношение числа $m$ испытаний, в которых событие произошло, к общему числу $n$ проведённых испытаний:

$W(A) = \frac{m}{n}$

Свойства относительной частоты:

• $0 \le W(A) \le 1$ для любого события $A$.
• $W(\Omega) = 1$ (достоверное событие происходит всегда).
• $W(\varnothing) = 0$ (невозможное событие не происходит никогда).
• При увеличении числа испытаний $n$ относительная частота $W(A)$ стабилизируется около некоторого числа — вероятности события $A$. Это свойство называется статистической устойчивостью.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$A, B, C$	Случайные события	Обозначения событий
$\Omega$	Достоверное событие	Происходит всегда
$\varnothing$	Невозможное событие	Не происходит никогда
$W(A)$	Относительная частота события $A$	$m/n$
$m$	Число появлений события	Сколько раз событие произошло
$n$	Число испытаний	Сколько раз провели опыт

Пример 1. Подбрасывание монеты

Монету подбросили 50 раз. Орёл выпал 23 раза, решка — 27 раз.

Дано: $n = 50$, $m_{орёл} = 23$, $m_{решка} = 27$.

Формула: $W(A) = \dfrac{m}{n}$

Подстановка: $W(орёл) = \dfrac{23}{50} = 0{,}46$; $W(решка) = \dfrac{27}{50} = 0{,}54$.

Ответ: $W(орёл) = 0{,}46$; $W(решка) = 0{,}54$.

Пример 2. Бросание игрального кубика

Кубик бросили 120 раз. Результаты: единица выпала 18 раз, двойка — 22 раза, тройка — 19 раз, четвёрка — 20 раз, пятёрка — 21 раз, шестёрка — 20 раз.

Дано: $n = 120$, $m_1 = 18$, $m_2 = 22$, $m_3 = 19$, $m_4 = 20$, $m_5 = 21$, $m_6 = 20$.

Формула: $W(A) = \dfrac{m}{n}$

Подстановка: $W(1) = \dfrac{18}{120} = 0{,}15$; $W(2) = \dfrac{22}{120} \approx 0{,}183$; $W(3) = \dfrac{19}{120} \approx 0{,}158$; $W(4) = \dfrac{20}{120} \approx 0{,}167$; $W(5) = \dfrac{21}{120} = 0{,}175$; $W(6) = \dfrac{20}{120} \approx 0{,}167$.

Ответ: частоты распределились близко к $\frac{1}{6} \approx 0{,}167$ — проявляется статистическая устойчивость.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — путать относительную частоту с вероятностью. Частота — это результат реального эксперимента, она может отличаться от теоретической вероятности. Чем больше испытаний, тем ближе частота к вероятности, но они не обязаны совпадать в одной серии.