Случайные величины и их распределения

Дискретная случайная величина, закон распределения (таблица значений и вероятностей). Математическое ожидание $E(X) = \sum x_i p_i$. Решение задач ОГЭ на нахождение математического ожидания.

Случайные величины и их распределения

Определение. Дискретная случайная величина

Дискретной случайной величиной XX называется величина, которая принимает конечное множество значений x1,x2,…,xnx_1, x_2, \dots, x_n с вероятностями p1,p2,…,pnp_1, p_2, \dots, p_n соответственно. Сумма всех вероятностей равна 1:

∑i=1npi=1\sum_{i=1}^{n} p_i = 1

Совокупность пар (xi,pi)(x_i, p_i) называется законом распределения случайной величины. Его удобно представлять в виде таблицы:

X & x_1 & x_2 & \dots & x_n \\ \hline P & p_1 & p_2 & \dots & p_n \end{array}$$ ## Формула. Математическое ожидание **Математическое ожидание** $E(X)$ дискретной случайной величины $X$ — это среднее взвешенное значение, где весами выступают вероятности: $$E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i p_i$$ Математическое ожидание показывает, какое значение случайной величины будет в среднем при многократном повторении опыта. ## Обозначения | Символ | Название | Описание | |--------|----------|----------| | $X$ | Случайная величина | Величина, принимающая значения случайным образом | | $x_i$ | Значение случайной величины | Конкретное числовое значение | | $p_i$ | Вероятность значения $x_i$ | $P(X = x_i)$ | | $E(X)$ | Математическое ожидание | Среднее значение, $\sum x_i p_i$ | | $\bar x$ | Выборочное среднее | Оценка $E(X)$ по данным наблюдений | ## Пример 1. Число орлов при 2 бросках монеты Монету подбрасывают 2 раза. Случайная величина $X$ — число выпавших орлов. Составим закон распределения и найдём математическое ожидание. Возможные значения: $X = 0$ (обе решки), $X = 1$ (орёл и решка), $X = 2$ (два орла). > **Дано:** $n = 2$, $p = 0{,}5$. По схеме Бернулли: $P_2(0) = 0{,}25$, $P_2(1) = 0{,}5$, $P_2(2) = 0{,}25$. > **Формула:** $E(X) = 0 \cdot p_0 + 1 \cdot p_1 + 2 \cdot p_2$ > **Подстановка:** $E(X) = 0 \cdot 0{,}25 + 1 \cdot 0{,}5 + 2 \cdot 0{,}25 = 0 + 0{,}5 + 0{,}5 = 1$ > **Ответ:** $E(X) = 1$. В среднем при 2 бросках монеты выпадает 1 орёл. ## Пример 2. Формат ОГЭ: Игральная кость Игральный кубик бросают один раз. Случайная величина $X$ — число выпавших очков. Найдите математическое ожидание $E(X)$. > **Дано:** $X$ принимает значения $1, 2, 3, 4, 5, 6$ с равными вероятностями $p_i = 1/6$. > **Формула:** $E(X) = \sum_{i=1}^{6} x_i \cdot \frac{1}{6}$ > **Подстановка:** $E(X) = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = \frac{1}{6} \cdot 21 = 3{,}5$ > **Ответ:** $E(X) = 3{,}5$. ## Пример 3. Лотерейный билет В лотерее 100 билетов. Выигрыш: 1 билет — 500 руб., 4 билета — 100 руб., 10 билетов — 50 руб., остальные — без выигрыша. Случайная величина $X$ — выигрыш на один билет. Найдите $E(X)$. > **Дано:** $x_1 = 500$ ($p_1 = 1/100$), $x_2 = 100$ ($p_2 = 4/100$), $x_3 = 50$ ($p_3 = 10/100$), $x_4 = 0$ ($p_4 = 85/100$). > **Формула:** $E(X) = \sum x_i p_i$ > **Подстановка:** $E(X) = 500 \cdot 0{,}01 + 100 \cdot 0{,}04 + 50 \cdot 0{,}1 + 0 \cdot 0{,}85 = 5 + 4 + 5 + 0 = 14$ > **Ответ:** $E(X) = 14$ руб. — средний выигрыш на один билет. ## Важно! > ⚠️ **Типичная ошибка** — путать математическое ожидание с конкретным значением. $E(X) = 3{,}5$ для игрального кубика не означает, что когда-нибудь выпадет 3,5 очка. Это среднее значение при очень большом числе бросков. > ⚠️ **Вторая частая ошибка** — забывать проверять, что сумма вероятностей в законе распределения равна 1. Если сумма не 1 — таблица составлена неверно.

Примеры вопросов из тренажёра

  1. Q: Монету подбрасывают 3 раза. Случайная величина $X$ — число орлов. Сколько различных значений может принимать $X$?

    A: верный ответ — 4

    Объяснение: $X$ может быть равен 0, 1, 2 или 3 — всего 4 значения.

  2. Q: Дан закон распределения: $X$: 1 ($p=0{,}2$), 2 ($p=0{,}5$), 3 ($p=0{,}3$). Найдите $E(X)$.

    A: верный ответ — 2,1

    Объяснение: $E(X) = 1 \cdot 0{,}2 + 2 \cdot 0{,}5 + 3 \cdot 0{,}3 = 0{,}2 + 1{,}0 + 0{,}9 = 2{,}1$.

  3. Q: Формат ОГЭ: Игральный кубик бросают один раз. Найдите математическое ожидание числа выпавших очков.

    A: верный ответ — 3,5

    Объяснение: Формат ОГЭ: $E(X) = (1+2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3{,}5$.

  4. Q: В лотерее 50 билетов: 1 выигрыш 200 руб., 2 по 50 руб., остальные без выигрыша. Найдите $E(X)$ — средний выигрыш на один билет.

    A: верный ответ — 6 руб.

    Объяснение: $E(X) = 200 \cdot 1/50 + 50 \cdot 2/50 + 0 \cdot 47/50 = 4 + 2 + 0 = 6$ руб.

  5. Q: Закон распределения: $X$: 0 ($p=0{,}1$), 1 ($p=0{,}4$), 2 ($p=0{,}3$), 3 ($p=0{,}2$). Чему равна сумма вероятностей?

    A: верный ответ — 1,0

    Объяснение: $0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}3 + 0{,}2 = 1{,}0$. Сумма вероятностей в законе распределения всегда равна 1.

Пройти тему «Случайные величины и их распределения» в приложении