Размах, дисперсия и стандартное отклонение

Определение. Меры разброса

Меры разброса (вариации) показывают, насколько данные «размазаны» вокруг центра. Два набора данных могут иметь одинаковое среднее, но совершенно разный разброс. Три основные меры: размах, дисперсия и стандартное отклонение.

Размах

Размах $R$ — простейшая мера разброса:

$R = x_{max} - x_{min}$

Достоинство: легко считается. Недостаток: учитывает только два крайних значения, не видя внутренней структуры данных.

Дисперсия

Дисперсия $D$ — средний квадрат отклонений всех значений от среднего:

$D = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar x)^2$

Алгоритм вычисления:

1. Найти среднее арифметическое $\bar x$.
2. Для каждого значения найти отклонение $x_i - \bar x$.
3. Возвести каждое отклонение в квадрат.
4. Найти среднее арифметическое квадратов отклонений.

Дисперсия измеряется в квадратных единицах, что не всегда удобно для интерпретации.

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение $\sigma$ (сигма) — квадратный корень из дисперсии:

$\sigma = \sqrt{D}$

Измеряется в тех же единицах, что и исходные данные. Показывает, на сколько в среднем значения отклоняются от среднего арифметического.

Обозначения

Символ	Название	Описание
$R$	Размах	$x_{max} - x_{min}$
$D$	Дисперсия	Средний квадрат отклонений
$\sigma$	Стандартное отклонение	$\sqrt{D}$
$\bar x$	Среднее арифметическое	Центр распределения

Пример 1. Вычисление всех трёх мер

Даны результаты двух тестов (баллы): Класс А: 18, 19, 20, 21, 22. Класс Б: 10, 15, 20, 25, 30.

Дано: Класс А: 18, 19, 20, 21, 22. Класс Б: 10, 15, 20, 25, 30. $n = 5$ в обоих случаях.

Формула: $R = x_{max} - x_{min}$; $\bar x = \frac{\sum x_i}{n}$; $D = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar x)^2$; $\sigma = \sqrt{D}$.

Подстановка (класс А): $R_A = 22 - 18 = 4$. $\bar x_A = (18+19+20+21+22)/5 = 100/5 = 20$. Отклонения: -2, -1, 0, +1, +2. Квадраты: 4, 1, 0, 1, 4. $D_A = (4+1+0+1+4)/5 = 10/5 = 2$. $\sigma_A = \sqrt{2} \approx 1{,}41$.

Подстановка (класс Б): $R_Б = 30 - 10 = 20$. $\bar x_Б = (10+15+20+25+30)/5 = 100/5 = 20$. Отклонения: -10, -5, 0, +5, +10. Квадраты: 100, 25, 0, 25, 100. $D_Б = (100+25+0+25+100)/5 = 250/5 = 50$. $\sigma_Б = \sqrt{50} \approx 7{,}07$.

Ответ: среднее одинаковое (20), но разброс совершенно разный. В классе А ($\sigma \approx 1{,}41$) все результаты близки к среднему. В классе Б ($\sigma \approx 7{,}07$) результаты сильно различаются.

Пример 2. Вычисление дисперсии для выборки большего объёма

Ежедневная выручка киоска за неделю (руб.): 1200, 1350, 1100, 1400, 1250, 1300, 1200.

Дано: $x_i$: 1200, 1350, 1100, 1400, 1250, 1300, 1200. $n = 7$.

Формула: $\bar x = \frac{\sum x_i}{n}$; $D = \frac{1}{n}\sum (x_i - \bar x)^2$.

Подстановка: $\bar x = (1200+1350+1100+1400+1250+1300+1200)/7 = 8800/7 \approx 1257{,}14$. Отклонения: -57,14; +92,86; -157,14; +142,86; -7,14; +42,86; -57,14. Квадраты: 3265; 8623; 24693; 20409; 51; 1837; 3265. $D = (3265+8623+24693+20409+51+1837+3265)/7 = 62143/7 \approx 8877{,}57$.

Ответ: $D \approx 8878$ руб², $\sigma = \sqrt{8878} \approx 94{,}2$ руб. В среднем дневная выручка отклоняется от среднего (1257 руб.) примерно на 94 рубля.

Важно!

⚠️ Типичная ошибка — путать дисперсию и стандартное отклонение. Дисперсия $D$ — в квадратных единицах (например, руб²), её сложно интерпретировать. Стандартное отклонение $\sigma$ — в исходных единицах (рубли), его можно сравнивать со средним. Всегда указывай, какую меру используешь.